Déterminer la valeur de cos pi/8 - Corrigé

Énoncé

1. Soit $z=x+iy$ et $z^2=a+ib$ les formes algébriques de  $z$ et $z^2$ . Montrer que, si $\left|z\right|=1$ , alors  $x^2={\displaystyle \frac{1+a}{2}}$   et   $y^2={\displaystyle \frac{1-a}{2}}$ .

2. On pose $x=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$   et $y=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ (ainsi, $z=x+iy$ est de module 1).  Donner la forme trigonométrique de $z^2$ et en déduire les valeurs de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ et de  $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ .

Solution

1. On suppose que $\left|z\right|=1$ , donc ${\left|z\right|}^2=1$ , c'est-à-dire $x^2+y^2=1$ .

• D'une part : $z^2=a+ib$ .
  
• D'autre part : $z=x+iy$ donc $z^2=(x+iy{)}^2=x^2-y^2+2ixy$ .
  
• Par unicité de la forme algébrique, on en déduit que :
  $\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=a\\ 2xy=b\end{array}\end{array}$

Comme $x^2+y^2=1$ et $x^2-y^2=a$ , on obtient :

• en additionnant ces deux égalités : $2x^2=1+a$ , c'est-à-dire $x^2=\frac{1+a}{2}$ ;
  
• en soustrayant ces deux égalités : $2y^2=1-a$ , c'est-à-dire $y^2=\frac{1-a}{2}$ .
  

2.  On a $z=1(\cos \frac{\pi }{8}+i\sin \frac{\pi }{8})$ donc $\left|z\right|=1$ et $\arg (z)\equiv \frac{\pi }{8}[2\pi ]$ .

On en déduit que : 
$\begin{array}{r}\left|z^2\right|={\left|z\right|}^2=1^2=1\text{ et }\\ arg(z^2)\equiv 2\arg (z)\equiv 2\times \frac{\pi }{8}\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]\end{array}$
donc la forme trigonométrique de $z^2$ s'écrit :
$\begin{array}{r}{z}^2=1(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}).\end{array}$

On en déduit que la forme algébrique de $z^2$ est :
$\begin{array}{r}{z}^2=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}.\end{array}$

En utilisant la question 1, on a alors :
$\begin{array}{r}{(\cos \frac{\pi }{8})}^2=(\text{R}\text{e}(z){)}^2=\frac{1+\text{R}\text{e}(z^2)}{2}=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}\end{array}$
et  $\begin{array}{r}{(\sin \frac{\pi }{8})}^2=(\text{I}\text{m}(z){)}^2=\frac{1-\text{R}\text{e}(z^2)}{2}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\end{array}$
donc, comme $\frac{\pi }{8}\in [0;\frac{\pi }{2}]$ , on a :
$\begin{array}{r}\cos \frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\text{ et }\\ sin\frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.\end{array}$